Formelsammlung Mathematik

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Formelsammlung für das Studienfach Mathematik

Inhaltsverzeichnis

Grundrechenarten

Addition

1.Summand + 2.Summand = Wert \ der \ Summe\;

Beispiel

\underbrace{3+5}_{Summe} = \underbrace{8}_{Wert \ der \ Summe}\;

Subtraktion

Minuend - Subtrahend = Wert \ der \ Differenz\;

Beispiel

\underbrace{8-3}_{Differenz} = \underbrace{5}_{Wert \ der \ Differenz}\;

Multiplikation

1.Faktor \cdot 2.Faktor = Wert \ des \ Produkts\;

Beispiel

\underbrace{3\cdot5}_{Produkt} = \underbrace{15}_{Wert \ des \ Produkts}\;

Division

\cfrac{Dividend}{Divisor} = Wert \ des \ Quotienten\;

Beispiel

\underbrace{\cfrac{15}{3}}_{Quotient} = \underbrace{5}_{Wert \ des \ Quotienten}\;

Geometrie

Flächenberechnung

Quadrat

A=l^2\;

U=4 \cdot l\;

e= \sqrt{2} \cdot l\;

Rechteck

A=l \cdot b\;

U=2(l+b)\;

l=\frac{A}{b}

b=\frac{A}{l}

e= \sqrt{l^2+b^2}

Parallelogramm

A=l \cdot b\;

Trapez

A=\frac{l_1 + l_2}{2} \cdot b

Dreieck

Ungleichseitiges Dreieck

A=\frac{l \cdot b}{2}

b=\frac{2 \cdot A}{l}

Gleichseitiges Dreieck

A=\frac{l \cdot b}{2}

A=\frac{l^2}{4} \cdot \sqrt{3}

b=\frac{2 \cdot A}{l}

b=\frac{l}{2} \cdot \sqrt{3}

Regelmäßiges Sechseck

A=0,75 \cdot e \cdot SW\;

A=l \sqrt{0,385 \cdot A}\;

SW=l \cdot \sqrt{3}\;

e=l \cdot 2\;

Kreis

Vollkreis

A=\frac{d^2 \cdot \pi}{4}

A=d^2 \cdot 0,785\;

U=d \cdot \pi\;

d=2 \cdot \sqrt{\frac{A}{\pi}}\;

Kreisausschnitt (Sektor)

A=\frac{d^2 \cdot \pi}{4 \cdot 360°} \cdot \alpha

A=\frac{d \cdot b}{4}

\alpha=\frac{360 \cdot b}{d \cdot \pi}

\alpha=\frac{4 \cdot A \cdot 360}{d^2 \cdot \pi}

b=\frac{4 \cdot A}{d}

b=\frac{d \cdot \pi \cdot \alpha}{360}

d=\sqrt{\frac{360 \cdot A}{0,785 \cdot \alpha}}

d=\frac{d \cdot \pi \cdot \alpha}{360}

Kreisabschnitt (Segment)

A=\frac{h}{6 \cdot s} \cdot (3 \cdot h^2 + 4\cdot s^2)

A=\frac{r \cdot (b-s) + s \dot h}{2}

h=r - \sqrt{r^2 - \frac{s^2}{4}}

r=\frac{\left(\frac{s}{2} \right)^2 + h^2 }{2 \cdot h}

s=2 \cdot \sqrt{r^2 - (r-h)^2}

Kreisring

A=\frac{\pi}{4} \cdot (d_2^2 - d_1^2)

d_1=\sqrt{d_2^2 - \frac{4 \cdot A}{\pi}}

d_2=\sqrt{\frac{4 \cdot A}{\pi} + d_1^2}

Elipse

A=d_1 \cdot d_2 \cdot \frac{\pi}{4}

Volumenberechnung

Prisma

V= A \cdot h\;

V= l \cdot b \cdot h\;

D= \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}\;

l= \frac{V}{b \cdot h}\;

Zylinder

V= A \cdot h\;

V= \frac{d^2 \cdot \pi}{4} \cdot h

Pyramide

V= \frac{A \cdot h}{3}

V= \frac{l \cdot b \cdot h}{3}

Kegel

V= \frac{A \cdot h}{3}

V= \frac{d^2 \cdot \pi \cdot h}{12}

Kugel

V= \frac{d^3 \cdot \pi}{6}

O= d^2 \cdot \pi\;

Vektoralgebra

Vektorzerlegung

Der Betrag des Vektors \mathbf{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} errechnet sich wie folgt:

\left|a \right| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

Skalarprodukt

\langle a^T \cdot b \rangle = \left| a \right| \cdot \left| b \right| \cdot cos\alpha

\langle a^T \cdot b \rangle = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3

cos\alpha = \frac{a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3}{\left| a \right| \cdot \left| b \right|}

cos\alpha = \frac{a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}

Vektorprodukt

a \times b = \left| a \right| \cdot \left| b \right| \cdot sin\alpha \cdot e_{SR}

\left| k \right| = \left| (a \times b) \right| = \left| a \right| \cdot \left| b \right| \cdot sin(a,b)

k \bot a und k \bot b

a \times b = \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{bmatrix}

Spatprodukt

Grundfläche zwischen den Vektoren b und c

A = \left| b \right| \cdot h = \left| b \right| \cdot \left| c \right| \cdot sin\alpha =\left| b \right| \cdot \left| c \right| \cdot sin(b,c) = \left| b \times c \right|

Parallelogrammfläche mit Richtung und senkrechter Orientierung nach der Rechtsschraubregel

A =\left| b \right| \cdot \left| c \right| \cdot sin(b,c) \cdot e_{SR} = \left| b \times c \right|

Volumen des Spates

V = \left| a \cdot A \right| = \left| a \cdot \left( b \times c \right) \right| = \left| \left\langle a^T(b \times c) \right\rangle \right|

Berechnung des Spates

V = \left| \left\langle a^T \cdot \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{bmatrix} \right\rangle \right| = \left| \left\langle \left\langle a_1a_2a_3 \right\rangle \cdot \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{bmatrix} \right\rangle \right|

V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{bmatrix}

Weblinks

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