Formelsammlung Sensorik

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Induktive Näherungsschalter

Scheinwiderstand

$\underline{Z} = \cfrac{\underline{U_1}}{\underline{I_1}} = \left( R_1 + j\omega \cdot L_1 \right) + \left( R_2 - j\omega \cdot L_2 \right) \cdot \cfrac{\omega^2 \cdot M^2_{12}}{R^2_2 + \left(\omega \cdot L_2 \right)^2} \;$

Realteil

$Re \left(\underline{Z} \right) = R_1 + R_2 \cdot \cfrac{\omega^2 \cdot M^2_{12}}{R^2_2 + \left(\omega \cdot L_2 \right)^2} \;$

Imaginärteil

$Im \left(\underline{Z} \right) = \omega \cdot L_1 - \omega \cdot L_2 \cdot \cfrac{\omega^2 \cdot M^2_{12}}{R^2_2 + \left(\omega \cdot L_2 \right)^2} \;$

Reduktionsfaktor

$\text{Reduktionsfaktor} = \cfrac{s}{s_n} \;$

Queranker-Aufnehmer

Magnetischer Widerstand

$R_M = \frac{s_{Fe}}{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot A}+\frac{2s}{\mu_0 \cdot A}=\frac{s_{Fe}}{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot A}\cdot \left( 1+2 \mu_r \cdot \cfrac{s}{s_{Fe}} \right)\;$

Induktivität

$L = \cfrac{L_0}{1+ 2\mu_r \cdot \cfrac{s}{s_{Fe}}}\;$

$L_0 = \cfrac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot A}{s_{Fe}}\;$

Tauchanker-Aufnehmer

Magnetischer Widerstand der Tauchankerspule

$R_M = \frac{s_{Fe}}{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot A_{Fe}}+\frac{s}{\mu_0 \cdot A}+\frac{s_a}{\mu_0 \cdot A_a}\;$

mit Näherung $A_{Fe} = A << A_a R_m \approx \frac{s}{\mu \cdot A}\;$

Induktivität

$L = \frac{N^2}{R_m} =\frac{N^2 \cdot A \cdot \mu_0}{\frac{s_{Fe}}{\mu_r}+s} \approx \frac{N^2 \cdot A \cdot \mu_0}{s} = \frac{K\cdot 1}{s} = \frac{L_0}{1+ \triangle \frac{s}{S_0}}\;$

$s = s_0 + \triangle s\;$

Differenzial-Tauchanker

Mittelstellung

$L_1 (s=S_0) = L_2 (s=s_0) = L_0 = \frac{K}{s_0}\;$

$Z_1 = j\cdot \omega \cdot L_1 = \frac{j\cdot \omega \cdot L_0}{l+\frac{s}{s_0}}\;$

$Z_2 = j\cdot \omega \cdot L_2 = \frac{j\cdot \omega \cdot L_0}{l-\frac{s}{s_0}}\;$

Diagonalspannung

$\underline{U_d} = \frac{\underline{U_0}}{2} \cdot \frac{\underline{Z_2}-\underline{Z_1}}{\underline{Z_2+\underline{Z_1}}} = \frac{\underline{U_0}}{2}\cdot \frac{\frac{1}{1-\frac{s}{s_0}}-\frac{1}{1+\frac{s}{s_0}}}{\frac{1}{1-\frac{s}{s_0}}+\frac{1}{1+\frac{s}{s_0}}}= \frac{\underline{U_0}}{2}\cdot \frac{s}{s_0}\;$

Empfindlichkeit

$E = \frac{\underline{U_0}}{2}\cdot \frac{1}{s_0}\;$

Kapazitive Sensoren

Plattenkondensator

$C = \frac{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot A}{d}\;$

$A = b \cdot l\;$

Verhältnis der Kapazitätsänderung:

$\frac{C_{d0+\triangle d}}{C_{d0}} = \frac{d_0}{d_0 + \triangle d}\;$

Kapazität bei Änderung der Plattenfläche:

$C = \frac{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot b_0}{d}l = C_0 \cdot \frac{l}{l_0}\;$

Kapazität bei zwei verschiedenen Dielektrika:

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{\epsilon \cdot A}\left(\frac{d_1}{\epsilon_{r1}} + \frac{d_2}{\epsilon_{r2}}\right)\;$

$C = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d_1}{\epsilon_{r1}}+\frac{d_2}{\epsilon_{r2}}}\;$

Kapazität bei Änderung durch einschiebbares Dielekrikum:

$C_0 = \frac{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot b \cdot l}{d_0}\;$

Kapazitätsänderungsverhältnis:

$\frac{\triangle C}{C_0} = \frac{C-C_0}{C_0} = \frac{l_0-l}{l_0}+\frac{\epsilon_{r2}\cdot l}{l_0}-1 = \frac{\epsilon_{r1}-1}{l_0}\cdot l\;$ bei $\epsilon_{r1}=Luft=1\;$